В зданиях старой постройки встречаются лестницы, состоящие из двух наклонных, параллельно расположенных несущих металлических балок – косоуров, на которые сверху уложены бетонные ступени. Необходимо проверить прочность и жесткость лестничного косоура, выполненного из двутавра №14 с длиной горизонтальной проекции d=4 м.

Рис.1. Поперечный разрез лестничного марша по металлическим косоурам

Исходные данные:

Уклон лестницы i=1:1,75 (α=29º45’). Ширина лестницы в плане b=1,8 м.

Постоянная нагрузка от веса ступеней, косоуров и перил g^H=3 кН на 1 м² площади горизонтальной проекции при коэффициенте перегрузки Kg=1,1.

Временная нагрузка от веса людей p^H=4 кН на 1 м² площади при коэффициенте перегрузки Kp =1,3.

Косоур выполнен из стали с расчетным сопротивлением R=240 МПа и модулем упругости E=210 ГПа.

Геометрические характеристики двутавра №14: F=17,4 см²;Wx=81,7 см³; Jx=572 см⁴.

Рис.2. Расчетная схема косоура. Эпюры внутренних усилий

Подсчет  нагрузок:

Лестница шириной b имеет два косоура, поэтому нагрузка на каждый из них собирается с полосы шириной в плане b/2. Следовательно, полная нагрузка на 1 пог.м. длины косоура составляет:

— нормативная нагрузка:

q_н = [(g_н + p_н)·b/2]·cosα = [(3+4)·1,8/2]·0,868 кН/м = 5,47 кН/м

— расчетная нагрузка:

q = [(g_н·K_g + p_н·K_p)·b/2]·cosα = [(3·1,1 + 4·1,3)·1,8/2]·0,868 кН/м = 6,64 кН/м.

Расчет на прочность:

Составляющая расчетной нагрузки, направленная вдоль оси косоура (см. Рис.2,б):

q_z = q·sinα = 6,64·0,496 = 3,29 кН/м.

Составляющая расчетной нагрузки, направленная по нормали к оси косоура:

q_y = q·cosα = 6,64·0,868 = 5,76 кН/м.

Опасным является сечение, расположенное в середине пролета косоура, длина которого равна:

L=d / cosα = 4 / 0,868 = 4,61 м

Максимальный изгибающий момент, действующий в опасном сечении (в середине пролета) составит:

M_max = q_y·L²/8 = 5,76·4,61²/8 = 15,3 кН·м

Продольная сила в опасном сечении:

N = q_z·L/2 = 3,29·4,61/2 = 7,58 кН

Условие прочности металлической балки (косоура), испытывающей прямой поперечный изгиб в сочетании с осевым сжатием, имеет следующий вид:

σ_max = N / F + M_max / W_x (1)

Проверим прочность металлического косоура по формуле (1):

σ_max = 7,58·10³/(17,4·10^-4) + 15,3·10³/(81,7•10^-6) = 191·10⁶ Па = 191 МПа

Прочность косоура обеспечена.

Расчет на жесткость:

Иньенсивность равномерно-распределенной нагрузки, нормальной к оси косоура:

q^н_y = q_н·cosα = 5,47·0,868 = 4,75 кН/м.

Условие жесткости при изгибе с растяжением не отличается от аналогичного условия при изгибе:

5·q^н_y·L³ / (384·E·J_x) ≤ L/200     (2)

Проверим жесткость балки косоура по формуле (2):

5·4,75·10³·4,61³ / (384·210·10⁹·572·10^-8) ≈ 0,005 м

Жесткость косоура также обеспечена.